माना f(x) = begin{cases} x^p sin left( frac{1 | vedclass

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Question

(C) माना $g(x) = x|x^3|$ है। चूँकि $x \ge 0$ के लिए $g(x) = x^4$ और $x < 0$ के लिए $g(x) = -x^4$ है,इसलिए $g(x)$,$x=0$ पर $3$ बार अवकलनीय है और $g''(0

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$(4, \infty)$

Vedclass · Answer

(C) माना $g(x) = x|x^3|$ है। चूँकि $x \ge 0$ के लिए $g(x) = x^4$ और $x अब $h(x) = x^p \sin \left( \frac{1}{x} ight)$ ($x 
eq 0$ के लिए) और $h(0) = 0$ पर विचार करें।$h'(0)$ के अस्तित्व के लिए,$\lim_{h 	o 0} \frac{h^p \sin(1/h)}{h} = 0$ होना चाहिए,जिसके लिए $p > 1$ आवश्यक है। तब $h'(0) = 0$ होगा।$x 
eq 0$ के लिए,$h'(x) = p x^{p-1} \sin \left( \frac{1}{x} ight) - x^{p-2} \cos \left( \frac{1}{x} ight)$ है।$h''(0)$ के अस्तित्व के लिए,$\lim_{h 	o 0} \frac{h'(h) - h'(0)}{h} = \lim_{h 	o 0} \left( p h^{p-2} \sin \left( \frac{1}{h} ight) - h^{p-3} \cos \left( \frac{1}{h} ight) ight) = 0$ होना चाहिए,जिसके लिए $p > 3$ आवश्यक है। तब $h''(0) = 0$ होगा।$x 
eq 0$ के लिए,$h''(x) = p(p-1) x^{p-2} \sin \left( \frac{1}{x} ight) - 2(p-1) x^{p-3} \cos \left( \frac{1}{x} ight) - x^{p-4} \sin \left( \frac{1}{x} ight)$ है।$h''(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x 	o 0} h''(x) = h''(0) = 0$ होना चाहिए। इसके लिए सभी पदों में $x$ का घातांक धनात्मक होना चाहिए,विशेष रूप से $p-4 > 0$,अतः $p > 4$।

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यदि $f(x) = \begin{cases} mx+1, & x \leq \frac{\pi}{2} \\ \sin x+n, & x > \frac{\pi}{2} \end{cases}$ बिंदु $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत है,जहाँ $m, n \in \mathbb{Z}$,तो:

फलन $f(x) = |x-2| + x$ है

$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2}{|x|}, & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ पर विचार करें।

मान लीजिए $f : [0,1] \to [0,1]$ एक सतत फलन है,तो समीकरण $f(x) = x$

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